Gastbeitrag von Dr. Christian Sievi: Coronavirus aus mathematischer Sicht

Die "Reproduktionsrate": Wie verbreitet sich das Virus bei den einzelnen Werten?

Dr. Christian Sievi ist Diplom-Mathematiker und als freiberuflicher Wirtschaftsmathematiker bundesweit tätig.
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Dr. Christian Sievi ist Diplom-Mathematiker und als freiberuflicher Wirtschaftsmathematiker bundesweit tätig.

Besiegen wir das Corona-Virus? Eine entscheidende Antwort auf diese Frage liefert die immer wieder genannte "Reproduktionsrate". Was sie bedeutet und welchen Einfluss sie auf die weitere Entwicklung und Verbreitung des Corona-Virus hat, erklärt Dr. Christian Sievi aus Stephanskirchen:

Das Corona-Virus bestimmt unseren Alltag und die Nachrichten sind voll von mathematischen Begriffen, die das Virus und die möglichen Verbreitungsszenarien beschreiben. Begriffe, die im Lauf der Zeit auch immer wieder ausgetauscht wurden. Kein Wunder also, dass die Menschen verwirrt sind und am Ende gar nichts mehr verstehen oder glauben. Ich will die Begriffe so erklären, dass sie jeder versteht und dass klar wird, wofür die Begriffe und Zahlen gut sind: 

Die "Reproduktionsrate"

Für die Verbreitung einer ansteckenden Krankheit in der Bevölkerung ist entscheidend, wie viele Personen ein Erkrankter direkt ansteckt. Das ist die "Reproduktionsrate", die man verständlicher als "Ansteckungsrate" bezeichnen sollte. Eine Reproduktionsrate von 1,10 bedeutet dabei, dass ein Erkrankter 1,1 Personen weiter ansteckt. Man kann aber in Wirklichkeit nicht 1,1 Menschen anstecken, sondern keinen, einen, zwei, drei - und als DJ sogar hunderte. Gemeint ist, dass 100 Kranke 110 weitere Personen anstecken, bzw. 1.000 Kranke 1.100, und so weiter. Natürlich sind das nur Mittelwerte, die täglich schwanken. 

Die Mathematik geht nun so vor: Wenn 100 Kranke - bis sie gesund oder isoliert sind - 110 neue Kranke bedeuten, so werden aus diesen 110 Kranken neue 110 x 1,1 = 121 Kranke. Und so gehen die Krankenzahlen, wenn die "Reproduktionsrate" unverändert bei 1,1 bleibt, weiter nach oben: 133, 146, 161, 177, 195, 214, usw. Bereits in der sechsten Reihe der Ansteckung sind aus 100 neu Erkrankten fast 200 neue Kranke geworden, also doppelt so viele! 

Die "Verdopplungszeit"

Wenn es im Schnitt vier Tage dauert, bis 100 Kranke 110 weitere Personen angesteckt haben, dauert es also 6 x 4 = 24 Tage, bis doppelt so viele Neuerkrankungen vorliegen. Das ist die anfänglich immer genannte Verdopplungszeit! Wie man sieht, kann die Reproduktionsrate direkt in die Verdopplungszeit umgerechnet werden. 

Die Verdopplungszeit ist sehr anschaulich: Runden wir dazu die 24 Tage auf einen Monat auf: Dann werden aus 100 Kranken in einem Monat rund 200 Kranke, in einem weiteren Monat 400 Kranke, dann 800 Kranke, 1.600 Kranke, usw.

Doch warum ist zwar bei Corona anfänglich ein sehr großer Zuwachs gemäß obigem Muster aufgetreten und dann doch nicht im gleichen Maße weiter gewachsen? Weil die Reproduktionsrate durch politische Maßnahmen gepaart mit der Vernunft und Angst der Menschen gesunken ist, und zwar deutlich unter 1. 

Die "Halbierungszeit"

Eine Reproduktionsrate von 0,5 bedeutet: Aus 100 Kranken werden 50 neue Kranke, aus 50 werden 25, dann gerundet 12, 6, 3, 2, 1, 0. Schließlich gibt es keine neuen Kranken mehr. Dann wäre – wenn nicht von außen (andere Länder oder anderer Landkreis) neuen Infektionen kommen – die Seuche besiegt! Jetzt wäre die "Halbierungszeit" eine gute Kenngröße. Bei einer Reproduktionsrate von 0,5 wäre diese im Beispiel genau 4 Tage. In rund sieben Ansteckungsserien mal vier Tagen (aufgerundet auf einen Monat) wären wir in Deutschland von aktuell rund 1000 Infizierten bei 10 neuen Infizierten. 

Die Tabelle zeigt den Zusammenhang zwischen der "Reproduktionsrate" und der "Verdopplungszeit" bzw. "Halbierungszeit":

Reproduktionsrate

0,60

0,70

0,80

0,90

0,95

1,00

1,05

1,10

Halbierungszeit in Monaten

0,2

0,3

0,4

0,9

1,8

keine Veränderung

-

-

Verdopplungszeit in Monaten

-

-

-

-

-

keine Veränderung

1,9

1,0

Reproduktionszahl kleiner 1.

Die Grafiken zeigen, welche Anzahl an neuen Kranken pro Monat bei verschiedenen jeweils unveränderten "Reproduktionsraten" entsteht, wenn vom aktuellen Stand von neuen Infizierten von ca. 1.000 Personen deutschlandweit ausgegangen wird:

Reproduktionszahl größer 1.

In der Praxis ist die "Reproduktionsrate" selbstverständlich niemals konstant, sondern verändert sich durch das Verhalten der Menschen und die Vorgaben der Politik. Je mehr "Öffnung" erlaubt ist und je mehr Kontakte ein Mensch hat, umso höher wird die "Reproduktionsrate" werden. Niemand kann derzeit voraussagen, wie sich gewisse Öffnungen im Einzelnen auswirken. Da werden wir erst später klüger sein. 

Folgende Tatsachen sind unverrückbar: 

  • Bei Reproduktionsraten unter 0,7 – diesen Wert hatten wir bundesweit schon – können wir die Neuinfektionen auf null oder so kleine Zahlen drücken, dass alle Infektionen nachvollziehbar sind und die Seuche ausgerottet werden kann.
  • Reproduktionsraten leicht unter 1,0 bedeuten einen sehr langen Weg bis zum Ende der Epidemie. Bei 1 - oder darum leicht schwankenden Zahlen - frisst sich das Virus wie ein Schwelbrand weiter. 
  • Und bei einer Reproduktionsrate über 1,0 steigen die Infektionen wie zu Beginn der Krise unweigerlich wieder an und führen zu der oft befürchteten zweiten Welle.

Die "Herdenimmunität"

Als Einwand ist richtig, dass die Verdoppelung bei einer Reproduktionsrate von mehr als 1,0 nicht ewig weiter gehen kann, weil wir bundesweit nur ca. 80 Mio. Einwohner haben. Ab einer gewissen Grenze bremst sich die Ansteckung selbst aus, weil ein Kranker immer weniger Gesunde findet, die er anstecken kann. Diese sogenannte "Herdenimmunität" haben wir aber noch lange nicht erreicht. (Anm. d. Red.: Ausführliche Informationen zur "Herdenimmunität" folgen in einem zweiten Gastbeitrag von Dr. Christian Sievi)

Anmerkung zur "magischen Grenze"

Die "magische Grenze" - in Summe 50 Neuerkrankungen pro 100.000 Einwohnern je Woche im Landkreis: Wenn Rosenheim diese Grenze reißt, werden wohl wieder Einschränkungen kommen. Warum also diese Grenze, auch wenn die Reproduktionsrate nur leicht über 1,0 oder sogar leicht unter 1,0 liegt? Weil wir eine sehr gute Chance haben, die Epidemie dadurch zu besiegen, dass alle Fälle von Erkrankungen nachverfolgt und betroffene Personen isoliert werden können. So wird die weitere Ansteckung verhindert und im Endeffekt drücken wir über die Corona-Maßnahmen die Reproduktionsrate nach unten. 

Auch ist zu bedenken, dass bundesweit, länderweit oder auf Kreisebene eine niedrige Reproduktionsrate wenig nützt, wenn z.B. in einem Dorf das Virus wieder ausbricht und sich schnell weiter ausbreitet. Es kommt eben auf jeden Einzelfall an. Klugheit, Vorsicht und soziales Verhalten sind angebracht, nicht aber Angst und schon gar nicht Leichtsinn oder Verleugnung der Gefahr!

Artikelserie von Dr. Christian Sievi: Coronavirus aus mathematischer Sicht

Dr. Christian Sievi

Quelle: rosenheim24.de

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